Каким знаком записываються рациональные числа

Двоично-рациональное число — Википедия

в кольце целых рациональных чисел не требует указания знака (±) числа. отрицательные числа вещественного квадратичного поля записываются. Назовем новым числом и обозначим его знаком " " ("два"). . Поэтому нетрудно доказать, что рациональные числа могут быть сколь угодно близки друг к другу. сокращения для каких-то выражений, которые записываются с помощью . Из сказанного следует, что сложение корней имеет какой-то смысл. Пусть a/b, c/d и p/q — три произвольных рациональных числа (все числители и . в какую сторону направлена стрелочка, а «голое» число без знака Каким бы ни было рациональное число a/b, ему обязательно . Отрицательные смешанные числа записываются следующим образом.

К примеру, если увеличить участок координатной прямой от 0 до 1, то можно увидеть следующую картину Видно, что между целыми числами 0 и 1 лежат уже другие рациональные числа, которые являются знакомыми для нас десятичными дробями.

Здесь же видна наша дробькоторая расположилась там же, где и десятичная дробь 0,5. Внимательное рассмотрение этого рисунка даёт ответ на вопрос почему дробь расположилась именно. Дробь означает разделить 1 на 2. А если разделить 1 на 2, то мы получим 0,5 Десятичную дробь 0,5 можно замаскировать и под другие дроби. Из основного свойства дроби мы знаем, что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то значение дроби не изменится.

Если числитель и знаменатель дроби умножить на любое число, например на число 4, то мы получим новую дробьа эта дробь также как и равна 0,5 А значит на координатной прямой дробь можно расположить там же, где и располагалась дробь Пример 2.

Попробуем отметить на координатной рациональное число. Данное число располагается ровно между числами 1 и 2 Значение дроби равно 1,5 Если увеличить участок координатной прямой от 1 до 2, то мы увидим следующую картину: Видно, что между целыми числами 1 и 2 лежат уже другие рациональные числа, которые являются знакомыми для нас десятичными дробями.

Рациональное число

Здесь же видна наша дробькоторая расположилась там же, где и десятичная дробь 1,5. Мы увеличивали определенные отрезки на координатной прямой, чтобы увидеть остальные числа, лежащие на этом отрезке. В результате, мы обнаруживали десятичные дроби, которые имели после запятой одну цифру.

Но это были не единственные числа, лежащие на этих отрезках. Чисел, лежащих на координатной прямой бесконечно. Нетрудно догадаться, что между десятичными дробями, имеющими после запятой одну цифру, лежат уже другие десятичные дроби, имеющие после запятой две цифры. Другими словами, сотые части отрезка. К примеру, попробуем увидеть числа, которые лежат между десятичными дробями 0,1 и 0,2 Ещё пример.

Положительные и отрицательные числа

Десятичные дроби, имеющие две цифры после запятой и лежащие между нулём и рациональным числом 0,1 выглядят так: Отметим на координатной прямой рациональное число. Данное рациональное число будет располагаться очень близко к нулю Значение дроби Если мы увеличим отрезок от 0 до 0,1 то увидим где точно расположилось рациональное число Видно, что наше рациональное число расположилось там же, где и десятичная дробь 0, Отметим на координатной прямой рациональное число 0, 3 Рациональное число 0, 3 является бесконечной периодической дробью.

Его дробная часть никогда не заканчивается, она бесконечная 0,…. И поскольку у числа 0, 3 дробная часть является бесконечной, это означает, что мы не сможем найти точное место на координатной прямой, где это число располагается.

Мы можем лишь указать это место приблизительно. Рациональное число 0,… будет располагаться очень близко к обычной десятичной дроби 0,3 Данный рисунок не показывает точное место расположения числа 0, 3.

Это лишь иллюстрация, показывающая как близко может располагаться периодическая дробь 0, 3 к обычной десятичной дроби 0,3. Данное рациональное число будет располагаться посередине между числами 2 и 3 это есть 2 две целых и одна вторая. Поэтому мы отметили на координатной прямой два целых отрезка и ещё половину отрезка.

Если перевести смешанное число в неправильную дробь, то получим обыкновенную дробь. Эта дробь на координатной прямой будет располагаться там же, где и дробь Значение дроби Если увеличить участок координатной прямой от 2 до 3, то мы увидим следующую картину: Видно, что наше рациональное число расположилось там же, где и десятичная дробь 2,5 Минус перед рациональным числом В предыдущем уроке, который назвался умножение и деление целых чисел мы научились делить целые числа.

  • Рациональные числа
  • Рациональные числа, определение, примеры.
  • 3.7. Рациональные числа

В роли делимого и делителя могли стоять как положительные, так и отрицательные числа. Теперь рассмотрим второе выражение 6: Учитывая, что любое деление можно записать в виде дроби, мы можем рассмотренные выше примеры также записать в виде дроби: А поскольку в обоих случаях значение дроби одинаково, минус стоящий либо в числителе либо в знаменателе можно сделать общим, поставив его перед дробью Поэтому между выражениями и можно поставить знак равенства, потому что они несут одно и то же значение В дальнейшем работая с дробями, если минус будет нам встречаться в числителе или в знаменателе, мы будем делать этот минус общим, ставя его перед дробью.

Противоположные рациональные числа Как и целое число, рациональное число имеет своё противоположное число. Например, для рационального числа. В самом деле, любое целое число можно записать в виде либо положительной обыкновенной дроби, либо в виде отрицательной обыкновенной дроби, либо как нуль. Любая обыкновенная дробь положительная или отрицательная.

Это напрямую утверждается приведенным определением рациональных чисел. Действительно, всегда можно представить смешанное число в виде неправильной обыкновенной дроби. Любая конечная десятичная дробь или бесконечная периодическая дробь. Это так в силу того, что указанные десятичные дроби переводятся в обыкновенные дроби.

Рациональные числа

Также понятно, что любая бесконечная непериодическая десятичная дробь НЕ является рациональным числом, так как она не может быть представлена в виде обыкновенной дроби. Теперь мы можем с легкостью привести примеры рациональных чисел. Числа 4,— это рациональные числа, так как они натуральные. Рациональными числами являются и числа. Из приведенных примеров видно, что существуют и положительные и отрицательные рациональные числа, а рациональное число нуль не является ни положительным, ни отрицательным.

Озвученное выше определение рациональных чисел можно сформулировать более краткой форме. Докажем, что данное определение рациональных чисел равносильно предыдущему определению.

Мы знаем, что можно рассматривать черту дроби как знак делениятогда из свойств деления целых чисел и правил деления целых чисел следует справедливость следующих равенств.

Таким образом,что и является доказательством. Приведем примеры рациональных чисел, основываясь на данном определении. Определение рациональных чисел можно дать и в следующей формулировке. Рациональные числа — это числа, которые могут быть записаны в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.

Рациональные числа, определение, примеры.

Это определение также равносильно первому определению, так как всякой обыкновенной дроби соответствует конечная или периодическая десятичная дробь и обратно, а любому целому числу можно сопоставить десятичную дробь с нулями после запятой. Закончим теорию этого пункта следующими утверждениями: К началу страницы Является ли данное число рациональным? В предыдущем пункте мы выяснили, что любое натуральное число, любое целое число, любая обыкновенная дробь, любое смешанное число, любая конечная десятичная дробь, а также любая периодическая десятичная дробь является рациональным числом.

Но как быть, если число задано в виде некоторого числового выраженияили как кореньстепеньлогарифм и. Во многих случаях ответить на него очень сложно.

Укажем некоторые направления ходу мысли. Это следует из того, как определены действия с рациональными числами. Например, выполнив все действия в выражениимы получаем рациональное число Иногда, после упрощения выражений и более сложного вида, появляется возможность определить, рационально ли заданное число.

Число 2 является рациональным числом, так как любое натуральное число является рациональным. А как насчет числа? Является ли оно рациональным?